Question

19．如圖，已知AB是半圓O的直徑，AB=4，C、D是半圓上的兩個(gè)三等分點(diǎn)．
（1）求$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{OD}$和|$\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OC}$|；
（2）在半圓內(nèi)任取一點(diǎn)P，求△ABP的面積大于2$\sqrt{3}$的概率．

Answer 1

分析 （1）由已知求出$\overrightarrow{AO}$與$\overrightarrow{OD}$的夾角為120°，$\overrightarrow{AO}$和$\overrightarrow{OC}$的夾角為60°．然后利用數(shù)量積公式求$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{OD}$，再由$|\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OC}{|}^{2}=（\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OC}）^{2}$展開(kāi)求|$\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OC}$|；
（2）由△ABP的面積大于2$\sqrt{3}$可知P在CD弦上方的弓形內(nèi)，由面積比求得△ABP的面積大于2$\sqrt{3}$的概率．

解答 解：（1）∵C、D是圓上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，∴∠AOD=60°，
∴$\overrightarrow{AO}$與$\overrightarrow{OD}$的夾角為120°，$\overrightarrow{AO}$和$\overrightarrow{OC}$的夾角為60°．
∴$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{OD}=|\overrightarrow{AO}||\overrightarrow{OD}|cos120°=2×2×cos120°$=-2．
$|\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OC}|=\sqrt{（\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OC}）^{2}}=\sqrt{{\overrightarrow{AO}}^{2}+{\overrightarrow{OC}}^{2}+2\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{OC}}$
=$\sqrt{4+4+2×2×2×cos60°}=2\sqrt{3}$；
（2）設(shè)P到AB的距離為d，則${S}_{△ABP}=\frac{1}{2}×AB×d$$＞2\sqrt{3}$，∴d$＞\sqrt{3}$．
連接CD，∵弦CD與直徑AB的距離為$\sqrt{3}$，則P在CD弦上方的弓形內(nèi)．
記“△ABP的面積大于2$\sqrt{3}$”為事件M，則
P（M）=$\frac{{S}_{扇形DOC}-{S}_{△DOC}}{{S}_{半圓}}$=$\frac{\frac{1}{2}×\frac{π}{3}×{2}^{2}-\frac{1}{2}×{2}^{2}×sin60°}{\frac{1}{2}×π×{2}^{2}}$=$\frac{\frac{2π}{3}-\sqrt{3}}{2π}$=$\frac{1}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2π}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查幾何概型概率的求法，是中檔題．