Question

8．已知函數(shù)f（x）=mx+3，g（x）=x²+2x+m．
（I）解不等式f（x）≥g（x）；
（Ⅱ）若不等式f（x）+g（x）≥0對任意的x∈（-1，+∞）恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）整理不等式可得x²-（m-2）x+m-3≤0，利用因式分解得出兩根為1和m-3，分別討論根的大小，得出解集；
（Ⅱ）整理不等式得x²+（2+m）x+m+3≥0對任意的x∈（-1，+∞）恒成立，構(gòu)造函數(shù)令h（x）=x²+（2+m）x+m+3，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)分別對△
進行討論即可得出m的范圍．

解答 解：（I）f（x）≥g（x），
∴mx+3≥x²+2x+m，
∴x²-（m-2）x+m-3≤0，
∴當m-3＞1即m＞4時，
1≤x≤m-3，
當m-3=1時，即m=4時，
x=1，
當m-3＜1即m＜4時，
m-3≤x≤1；
（Ⅱ）f（x）+g（x）≥0對任意的x∈（-1，+∞）恒成立，
∴x²+（2+m）x+m+3≥0對任意的x∈（-1，+∞）恒成立，
∴令h（x）=x²+（2+m）x+m+3，
∵h（-1）=1-2-m+m+3=2＞0，
當△=（m+2）²-4（m+3）≤0，即$-2\sqrt{2}$≤m≤2$\sqrt{2}$，恒成立，
當△＞0時，
只需-$\frac{2+m}{2}$≤-1，
∴m≥0，
故m的范圍為m≥$-2\sqrt{2}$．

點評 考查了二次不等式的解的求法和利用二次函數(shù)對△值和對稱軸討論解決恒成立問題．