Question

20．已知四棱錐E-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，且AE⊥平面CDE，AE=1，CE=$\sqrt{7}$
（Ⅰ）求證：平面ABCD⊥平面ADE；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)F是棱BC上一點(diǎn)，若二面角A-DE-F的余弦值為$\frac{\sqrt{37}}{37}$，試確定點(diǎn)F在BC上的位置．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)面面垂直的判定定理證明平面ABCD⊥平面ADE即可
（Ⅱ）建立空間坐標(biāo)系，利用向量法求出平面的法向量，利用向量法結(jié)合二面角的余弦值求出F的位置即可得到結(jié)論．

解答 （Ⅰ）證明：∵AE⊥平面CDE，
∴AE⊥平面DE，AE⊥CD，
∵AE=1，AD=2，∴DE=$\sqrt{3}$，
∵CE=$\sqrt{7}$，CD=2，
∴CD²+DE²=3+4=7，即CD²+DE²=CE²，
∴△CDE是直角三角形，
則CD⊥DE，
∵DE∩AE=E，
∴CD⊥平面ADE；
∵CD?平面ABCD．
∴平面ABCD⊥平面ADE；
（Ⅱ）建立以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DC，ED，垂直于平面CDE的直線分別為x，y，z軸的空間直角坐標(biāo)系如圖：
則A（0，-$\sqrt{3}$，1），E（0，-$\sqrt{3}$，0），C（2，0，0），D（0，0，0），B（2，-$\sqrt{3}$，1），
設(shè)$\overrightarrow{CF}$=t$\overrightarrow{CB}$=t（0，-$\sqrt{3}$，1）=（0，-$\sqrt{3}$t，t）（0≤t≤2），
則$\overrightarrow{DF}$=$\overrightarrow{DC}$+$\overrightarrow{CF}$=（2，0，0）+（0，-$\sqrt{3}$t，t）=（2，-$\sqrt{3}$t，t），
$\overrightarrow{DE}$=（0，-$\sqrt{3}$，0），
則設(shè)平面DEF的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DF}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2x-\sqrt{3}ty+tz=0}\\{-\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2x+tz=0}\\{y=0}\end{array}\right.$，
令z=1，則x=-$\frac{t}{2}$，y=0，
即為$\overrightarrow{n}$=（-$\frac{t}{2}$，0，1），
平面AED的法向量為$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
若二面角A-DE-F的余弦值為$\frac{\sqrt{37}}{37}$，
則|cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$|=$\frac{|-\frac{t}{2}|}{\sqrt{（-\frac{t}{2}）^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{37}}{37}$，
平方得$\frac{\frac{{t}^{2}}{4}}{\frac{{t}^{2}}{4}+1}=\frac{1}{37}$，即9t²=1，則t²=$\frac{1}{9}$，
則t=$\frac{1}{3}$，
即CF=$\frac{1}{3}$CB=$\frac{2}{3}$，
即點(diǎn)F在BC上的位置滿足CF=$\frac{2}{3}$，即可滿足條件．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查面面垂直判定以及二面角的求解，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法進(jìn)行求解，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．