Question

3．設(shè)A，B在圓x²+y²=1上運(yùn)動(dòng)，且|AB|=$\sqrt{3}$，點(diǎn)P在直線3x+4y-12=0上運(yùn)動(dòng)，則|$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$|的最小值為（　�。�

• A． 3
• B． 4
• C． $\frac{17}{5}$
• D． $\frac{19}{5}$

Answer 1

分析 設(shè)AB的中點(diǎn)為D，則由題意，$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{PO}$+$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{PO}$+$\overrightarrow{OB}$=2$\overrightarrow{PO}$+2$\overrightarrow{OD}$=2$\overrightarrow{PD}$，當(dāng)且僅當(dāng)O，D，P三點(diǎn)共線時(shí)，|$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$|取得最小值，此時(shí)OP⊥直線3x+4y-12=0，OP⊥AB．

解答 解：設(shè)AB的中點(diǎn)為D，則
由題意，$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{PO}$+$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{PO}$+$\overrightarrow{OB}$=2$\overrightarrow{PO}$+2$\overrightarrow{OD}$=2$\overrightarrow{PD}$，
∴當(dāng)且僅當(dāng)O，D，P三點(diǎn)共線時(shí)，|$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$|取得最小值，此時(shí)OP⊥直線3x+4y-12=0，OP⊥AB，
∵圓心到直線的距離為$\frac{12}{\sqrt{9+16}}$=$\frac{12}{5}$，OD=$\sqrt{1-\frac{3}{4}}$=$\frac{1}{2}$，
∴|$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$|的最小值為2（$\frac{12}{5}$-$\frac{1}{2}$）=$\frac{19}{5}$．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查點(diǎn)到直線的距離公式，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．