已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足S1>1,且6Sn=(an+1)(an+2),n∈N*
(1)求an與an+1的關(guān)系式;
(2)在滿足條件的所有數(shù)列{an}中,求a2015最小值;
(3)若數(shù)列{an}各項(xiàng)都為正數(shù),設(shè)數(shù)列{bn}滿足an(2bn-1)=3,并記Tn為{bn}的前n項(xiàng)和,問:是否存在常數(shù)c使得對任意的正整數(shù)n,都有Tn≥c成立?如果存在,請寫出c的取值范圍;如果不存在,請說明理由.
考點(diǎn):數(shù)列的求和,數(shù)列的函數(shù)特性,數(shù)列的應(yīng)用
專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(1)根據(jù)賦值和遞推關(guān)系式求出遞推關(guān)系.
(2)采用分析法求出數(shù)列的關(guān)系式,進(jìn)一步求出結(jié)果.
(3)利用上步結(jié)論求出參數(shù)的取值范圍.
解答: 解:(1)n=1時(shí),a1=2或1(因?yàn)镾1>1所以舍1),
n≥2時(shí),6Sn=(an+1)(an+2)=an2+3an+2
6Sn-1=an-12+3an-1+2,
兩式相減得,6an=an2-an-12+3an-3an-1,
∴(an+an-1)(an-an-1-3)=0,
所以an+1=-an或an+1-an=3
(2)由題可知,求a2015的最小值只需求a2014最大值,且a2015=-a2014 (a2014>0);
因?yàn)楫?dāng)n≤2013時(shí),若存在n∈N*,使得an+an+1=0,則相鄰兩項(xiàng)異號,不符合題意.
因此當(dāng)n≤2013時(shí),只能滿足an+1-an=3,a2014才能取到最大值,
所以a2014=a1+2013×3=6041最大,
因此只需a2015=-a2014=-6041即為最小.
(3)因?yàn)閍n>0,an+1=-an不成立,
所以an+1-an=3,即an=3n-1
滿足(3n-1)(2bn-1)=3
bn=log2
3n+2
3n-1
,Tn=b1+b2+…+bn=log2
5
2
8
5
•…•
3n+2
3n-1
=log2
3n+2
2

∵{Tn}單調(diào)遞增,
∴n=1時(shí)Tn最小值為log2
5
2
,因此存在常數(shù)c使Tn≥c恒成立,
這時(shí)c的取值范圍是(-∞,log25-1].
點(diǎn)評:本題考查的知識要點(diǎn):遞推關(guān)系式的應(yīng)用,恒成立問題的應(yīng)用,關(guān)系式的恒等變換.屬于中等題型.
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a
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b
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a
+
b
)•(
a
-
b
)=0”的( 。
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B、必要且不充分條件
C、充要條件
D、既不充分也不必要條件

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π
6
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π
2

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π
2
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(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
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63
4
,求n的值.

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A、2
2
B、
6
C、2
3
D、3

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(2)當(dāng)x∈[3,4]時(shí),h(x)>0恒成立,求a的取值范圍.

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若△ABC得內(nèi)角A,B,C所對的邊a,b,c滿足(a+b)2-c2=2,且C=
π
3
,則ab=( 。
A、2-
3
B、1
C、
2
3
D、
4
3

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