Question

10．已知圓M過(guò)三點(diǎn)A（0，0），B（1，1），C（4，2），過(guò)點(diǎn)D（-1，4）作圓M的兩條切線(xiàn)，兩切點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，
（I）  求圓M的方程．
（II） 求切線(xiàn)DE，DF方程
（ III）求直線(xiàn)EF的方程．

Answer 1

分析 （I）設(shè)圓M的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，代入坐標(biāo)，可得方程組，即可求圓M的方程．
（II）分類(lèi)討論，利用圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑，即可求切線(xiàn)DE，DF方程
（III）求出點(diǎn)E，F(xiàn)在以DM為直徑的圓，即可求直線(xiàn)EF的方程．

解答 解：（I） 設(shè)圓M的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0
則  $\left\{\begin{array}{l}F=0\\ 2+D+E+F=0\\ 20+4D+2E+F=0\end{array}\right.$…（2分）
解得D=-8，E=6，F(xiàn)=0所以圓M的方程是x²+y²-8x+6y=0…（4分）
（II） 圓M的方程是（x-4）²+（y+3）²=25
當(dāng)切線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)x=-1滿(mǎn)足題意              …（5分）
當(dāng)切線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)切線(xiàn)方程為y-4=k（x+1），kx-y+k+4=0
由相切可知$\frac{{|{5k+7}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=5$解得$k=-\frac{12}{35}$，該切線(xiàn)方程為12x+35y-128=0
所以切線(xiàn)DE，DF方程為x=-1和 12x+35y-128=0…（8分）
（III）點(diǎn)E，F(xiàn)在以DM為直徑的圓上，該圓方程為（x+1）（x-4）+（y-4）（y+3）=0
化簡(jiǎn)得x²+y²-3x-y-16=0，…（10分）
線(xiàn)段EF是兩圓公共弦x²+y²-3x-y-16=0…①x²+y²-8x+6y=0…②
①-②得5x-7y-16=0，所以直線(xiàn)EF的方程為5x-7y-16=0…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線(xiàn)與圓的方程，考查圓與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．