Question

7．已知函數(shù)f（x）=cosx+xsinx-a，x∈（-π，π），若f（x）有4個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍為（　　）

• A． （-1，1）
• B． （1，$\frac{π}{2}$）
• C． （0，$\frac{π}{2}$）
• D． （-1，$\frac{π}{2}$）

Answer 1

分析 令g（x）=cosx+xsinx，x∈（-π，π），分析直線y=a與g（x）=cosx+xsinx的圖象有四個(gè)交點(diǎn)a的取值范圍，可得答案．

解答 解：令g（x）=cosx+xsinx，x∈（-π，π），
則g′（x）=xcosx，x∈（-π，π），
令g′（x）＜0，則x∈（-$\frac{π}{2}$，0）∪（$\frac{π}{2}$，π），令g′（x）＞0，則x∈（-π，-$\frac{π}{2}$）∪（0，$\frac{π}{2}$），
故g（x）在（-π，-$\frac{π}{2}$）上為增函數(shù)，在（-$\frac{π}{2}$，0）上為減函數(shù)，在（0，$\frac{π}{2}$）上為增函數(shù)，在（$\frac{π}{2}$，π）上為減函數(shù)，
故g（x）在x=-$\frac{π}{2}$和x=$\frac{π}{2}$取極大值$\frac{π}{2}$，在x=0時(shí)取極小值1，
又由g（-π）=g（π）=-1，
故當(dāng)a∈（1，$\frac{π}{2}$）時(shí)，直線y=a與g（x）=cosx+xsinx的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，
即函數(shù)f（x）=cosx+xsinx-a，x∈（-π，π）有4個(gè)零點(diǎn)，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，函數(shù)的零點(diǎn)，難度中檔．