Question

1．直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)和極坐標(biāo)系Ox的極點(diǎn)重合，x軸正半軸與極軸重合，單位長度相同，在直角坐標(biāo)系下，已知曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosφ}\\{y=2sinφ}\end{array}\right.$，（φ為參數(shù)）．
（1）在極坐標(biāo)系下，曲線C與射線θ=$\frac{π}{4}$和射線θ=-$\frac{π}{4}$分別交于A，B兩點(diǎn)，求△AOB的面積；
（2）在直角坐標(biāo)系下，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=6\sqrt{2}-2t}\\{y=t-2}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），求曲線C與直線l的交點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）先消去參數(shù)方程中的參數(shù)得普通方程，再利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進(jìn)行代換將直角坐標(biāo)方程化成極坐標(biāo)方程，通過極坐標(biāo)方程求出三角形的邊長后求面積即可；
（2）將l的參數(shù)方程代入曲線C的普通方程，得t的值，再代入l的參數(shù)方程，得曲線C與直線l的交點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosφ}\\{y=2sinφ}\end{array}\right.$，（φ為參數(shù)）．
消去參數(shù)得曲線C在直角坐標(biāo)系下的普通方程為：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，
將其化為極坐標(biāo)方程為：$\frac{{ρ}^{2}cos2θ}{16}+\frac{{ρ}^{2}sin2θ}{4}=1$，
分別代入θ=$\frac{π}{4}$和θ=-$\frac{π}{4}$，得|OA|²=|OB|²=$\frac{32}{5}$，
∵∠AOB=$\frac{π}{2}$，∴△AOB的面積S=$\frac{1}{2}$|OA||OB|=$\frac{16}{5}$；
（2）將l的參數(shù)方程代入曲線C的普通方程，得（t-2$\sqrt{2}$）²=0，
∴t=2$\sqrt{2}$，代入l的參數(shù)方程，得x=2$\sqrt{2}$，y=$\sqrt{2}$，
∴曲線C與直線l的交點(diǎn)坐標(biāo)為（2$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）．

點(diǎn)評 本題考查點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫點(diǎn)的位置，體會在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中刻畫點(diǎn)的位置的區(qū)別，能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，是基礎(chǔ)題．