Question

1．直角坐標系xOy的原點和極坐標系Ox的極點重合，x軸正半軸與極軸重合，單位長度相同，在直角坐標系下，已知曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosφ}\\{y=2sinφ}\end{array}\right.$，（φ為參數(shù)）．
（1）在極坐標系下，曲線C與射線θ=$\frac{π}{4}$和射線θ=-$\frac{π}{4}$分別交于A，B兩點，求△AOB的面積；
（2）在直角坐標系下，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=6\sqrt{2}-2t}\\{y=t-2}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），求曲線C與直線l的交點坐標．

Answer 1

分析 （1）先消去參數(shù)方程中的參數(shù)得普通方程，再利用直角坐標與極坐標間的關(guān)系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進行代換將直角坐標方程化成極坐標方程，通過極坐標方程求出三角形的邊長后求面積即可；
（2）將l的參數(shù)方程代入曲線C的普通方程，得t的值，再代入l的參數(shù)方程，得曲線C與直線l的交點坐標．

解答 解：（1）曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosφ}\\{y=2sinφ}\end{array}\right.$，（φ為參數(shù)）．
消去參數(shù)得曲線C在直角坐標系下的普通方程為：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，
將其化為極坐標方程為：$\frac{{ρ}^{2}cos2θ}{16}+\frac{{ρ}^{2}sin2θ}{4}=1$，
分別代入θ=$\frac{π}{4}$和θ=-$\frac{π}{4}$，得|OA|²=|OB|²=$\frac{32}{5}$，
∵∠AOB=$\frac{π}{2}$，∴△AOB的面積S=$\frac{1}{2}$|OA||OB|=$\frac{16}{5}$；
（2）將l的參數(shù)方程代入曲線C的普通方程，得（t-2$\sqrt{2}$）²=0，
∴t=2$\sqrt{2}$，代入l的參數(shù)方程，得x=2$\sqrt{2}$，y=$\sqrt{2}$，
∴曲線C與直線l的交點坐標為（2$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）．

點評 本題考查點的極坐標和直角坐標的互化，能在極坐標系中用極坐標刻畫點的位置，體會在極坐標系和平面直角坐標系中刻畫點的位置的區(qū)別，能進行極坐標和直角坐標的互化，是基礎(chǔ)題．