Question

6．設數(shù)列{a_n}是公差不為0的等差數(shù)列，S_n為其前n項的和，滿足：a₂²+a₃²=a₄²+a₅²，S₇=7．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式及前n項的和S_n；
（2）設數(shù)列{b_n}滿足b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$，其前n項的和為T_n，當n為何值時，有T_n＞512．

Answer 1

分析 （1）由數(shù)列{a_n}是公差不為0的等差數(shù)列，可設a_n=a₁+（n-1）d，由：a₂²+a₃²=a₄²+a₅²，S₇=7．可得：$（{a}_{1}+d）^{2}$+$（{a}_{1}+2d）^{2}$=$（{a}_{1}+3d）^{2}$+$（{a}_{1}+4d）^{2}$，$7{a}_{1}+\frac{7×6}{2}$d=7，d≠0，聯(lián)立解出即可得出．
（2）b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$=2^2n-7，可得$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=4，b₁=2^-5=$\frac{1}{{2}^{5}}$．可得數(shù)列{b_n}是公比為4的等比數(shù)列，首項為$\frac{1}{{2}^{5}}$，利用等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）由數(shù)列{a_n}是公差不為0的等差數(shù)列，可設a_n=a₁+（n-1）d，
由a₂²+a₃²=a₄²+a₅²，S₇=7．可得：$（{a}_{1}+d）^{2}$+$（{a}_{1}+2d）^{2}$=$（{a}_{1}+3d）^{2}$+$（{a}_{1}+4d）^{2}$，
$7{a}_{1}+\frac{7×6}{2}$d=7，d≠0，
聯(lián)立解得a₁=-5，d=2．
∴a_n=-5+2（n-1）=2n-7．S_n=$\frac{n（-5+2n-7）}{2}$=n²-6n．
（2）b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$=2^2n-7，∴$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=$\frac{{2}^{2（n+1）-7}}{{2}^{2n-7}}$=4，b₁=2^-5=$\frac{1}{{2}^{5}}$．
∴數(shù)列{b_n}是公比為4的等比數(shù)列，首項為$\frac{1}{{2}^{5}}$，
∴T_n=$\frac{\frac{1}{{2}^{5}}（{4}^{n}-1）}{4-1}$=$\frac{1}{3×{2}^{5}}$（4ⁿ-1）．
由T_n＞512，可得：4ⁿ＞3×4⁷+1，∴n≥8時，有T_n＞512．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其求和公式、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．