Question

3．（1）復數z的實部為8，|z|=10，求z的值；
（2）i為虛數單位，z₁=sin2θ+icosθ，z₂=cosθ+i$\sqrt{3}$sinθ，若z₁=z₂，求θ 的值．

Answer 1

分析 （1）設z=8+bi，（b∈R），由|z|=10，可得64+b²=100，得b．
（2）由z₁=sin2θ+icosθ，z₂=cosθ+i$\sqrt{3}$sinθ，z₁=z₂，可得$\left\{\begin{array}{l}{sin2θ=cosθ}\\{cosθ=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$，解出即可得出．

解答 解：（1）設z=8+bi，（b∈R），∵|z|=10，則64+b²=100，得b=±6，∴z=8±6i．
（2）由z₁=sin2θ+icosθ，z₂=cosθ+i$\sqrt{3}$sinθ，z₁=z₂，
∴$\left\{\begin{array}{l}{sin2θ=cosθ}\\{cosθ=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$，
∴sin$θ=\frac{1}{2}$，tanθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得θ=2kπ+$\frac{π}{6}$（k∈Z）．

點評 本題考查了復數模的運算性質、復數相等、三角函數求值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．