Question

15．已知a，b∈（0，+∞），且$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2b}$=$\frac{1}{12}$，則9^a•3^b的最小值為（　�。�

• A． 3⁵⁴
• B． 3²⁷
• C． 54
• D． 27

Answer 1

分析 根據(jù)條件可得到$\frac{12}{a}+\frac{6}=1$，從而可得出2a+b=$30+\frac{12a}+\frac{12b}{a}$，而根據(jù)基本不等式可以求出$\frac{12a}+\frac{12b}{a}$的最小值，從而得出2a+b的最小值，而9^a•3^b=3^2a+b，這樣根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求出9^a•3^b的范圍，從而得出其最小值．

解答 解：由$\frac{1}{a}+\frac{1}{2b}=\frac{1}{12}$得，$\frac{12}{a}+\frac{6}=1$；
又a，b∈（0，+∞）；
∴$2a+b=（2a+b）（\frac{12}{a}+\frac{6}）$
=$24+\frac{12a}+\frac{12b}{a}+6$
≥30+2×12=54，當(dāng)$\frac{12a}=\frac{12b}{a}$，即a=b=18時(shí)取“=”；
∴9^a•3^b=3^2a•3^b=3^2a+b≥3⁵⁴；
∴9^a•3^b的最小值為3⁵⁴．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 考查基本不等式在求最小值中的應(yīng)用，注意應(yīng)用基本不等式所具備的條件，并判斷等號(hào)能否取到，以及指數(shù)式的運(yùn)算，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．