Question

3．已知函數(shù)f（x）=log_a$\frac{x+1}{x-1}$（a＞0且a≠1）．
（I） 求函數(shù)的定義域，并證明：f（x）=log_a$\frac{x+1}{x-1}$（a＞0且a≠1）在定義域上是奇函數(shù)；
（Ⅱ）對(duì)于x∈[2，4]，log_a$\frac{x+1}{x-1}$＞log_a$\frac{m}{（x-1）（7-x）}$恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$\frac{x+1}{x-1}$＞0解得定義域，在定義域范圍內(nèi)考察f（-x）=-f（x）成立；
（Ⅱ）根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為真數(shù)大小關(guān)系恒成立，再利用分離參數(shù)法求m范圍．

解答 解　（Ⅰ）由 $\frac{x+1}{x-1}$＞0，解得x＜-1或x＞1，
∴函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，-1）∪（1，+∞），
當(dāng)x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）時(shí)，
f（-x）=log_a $\frac{-x+1}{-x-1}$=log_a $\frac{x-1}{x+1}$=-log_a $\frac{x+1}{x-1}$=-f（x），
∴f（x）=log_a $\frac{x+1}{x-1}$在定義域上是奇函數(shù)．
（2）由x∈[2，4]時(shí)，f（x）=log_a $\frac{x+1}{x-1}$＞log_a $\frac{m}{（x-1）（7-x）}$恒成立，
①當(dāng)a＞1時(shí)，
∴$\frac{x+1}{x-1}$＞$\frac{m}{（x-1）（7-x）}$對(duì)x∈[2，4]恒成立，
∴0＜m＜（x+1）（7-x）在x∈[2，4]恒成立，
設(shè)g（x）=（x+1）（7-x），x∈[2，4]，
則g（x）=-x²+6x+7=-（x-3）²+16，
g（x）_min=g（2）=g（4）=15，
∴0＜m＜15；
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，由x∈[2，4]時(shí)，
f（x）=log_a $\frac{x+1}{x-1}$＞log_a $\frac{m}{（x-1）（7-x）}$恒成立，
∴$\frac{x+1}{x-1}$＜$\frac{m}{（x-1）（7-x）}$對(duì)x∈[2，4]恒成立，
∴m＞（x+1）（7-x）在x∈[2，4]恒成立，
設(shè)g（x）=（x+1）（7-x），x∈[2，4]，
由①得：g（x）_max=g（3）=16，∴m＞16，
∴m的取值范圍是（0，15）∪（16，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)奇偶性的判定，不等式恒成立問(wèn)題，函數(shù)最值求解，考查運(yùn)算求解能力．