Question

已知函數(shù)f（x）=mx²-m²x-mx+m²．
（1）若對(duì)于x∈[0，1]，f（x）≥0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
（2）若對(duì)于m∈[0，1]，f（x）≥0恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由f（x）=mx²-m²x-mx+m²=mx²-（m²+m）x+m²，分m=0、m＞0和m＜0三種情況結(jié)合二次函數(shù)圖象和性質(zhì)列不等式求解，最后取并集求得對(duì)于x∈[0，1]，f（x）≥0恒成立的實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）更換主元，得到f（m）=（1-x）m²+（x²-x）m，然后分x=1、x＜1和x＞1三種情況結(jié)合二次函數(shù)圖象和性質(zhì)列不等式求解，最后取并集求得對(duì)于m∈[0，1]，f（x）≥0恒成立的實(shí)數(shù)x的取值范圍．

解答： 解：f（x）=mx²-m²x-mx+m²．
（1）由f（x）=mx²-m²x-mx+m²=mx²-（m²+m）x+m²，
當(dāng)m=0時(shí)，f（x）=0恒成立，滿足對(duì)于x∈[0，1]，f（x）≥0恒成立；
當(dāng)m＞0時(shí)，要使對(duì)于x∈[0，1]，f（x）≥0恒成立，則

m＞0 m2+m 2m ≤0 m2≥0

（Ⅰ）或

m＞0 m2+m 2m ≥1 m×12-(m2+m)×1+m2≥0

（Ⅱ）或

m＞0 0＜ m2+m 2m ＜1 [-(m2+m)]2-4m3≤0

（Ⅲ）．
解（Ⅰ）得：m∈∅；解（Ⅱ）得：m≥1；解（Ⅲ）得：m∈∅．
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是[1，+∞）；
當(dāng)m＜0時(shí)，要使對(duì)于x∈[0，1]，f（x）≥0恒成立，則

f(0)=m2≥0 f(1)=0≥0

，∴m＜0．
綜上，對(duì)于x∈[0，1]，f（x）≥0恒成立的實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，0]∪[1，+∞）；
（2）由f（m）=mx²-m²x-mx+m²=（1-x）m²+（x²-x）m，
當(dāng)x=1時(shí)，f（m）=0恒成立，滿足對(duì)于m∈[0，1]，f（m）≥0恒成立；
當(dāng)x＜1時(shí)，要使對(duì)于m∈[0，1]，f（m）≥0恒成立，則

x＜1 x2-x 2(x-1) ≤0 f(0)=0≥0

（Ⅰ）或

x＜1 x2-x 2(x-1) ≥1 f(1)=1-x+x2-x≥0

（Ⅱ）或

x＜1 0＜ x2-x 2(x-1) ＜1 (x2-x)2≤0

（Ⅲ）
解（Ⅰ）得：x≤0；解（Ⅱ）得：x∈∅；解（Ⅲ）得：x∈∅；
∴實(shí)數(shù)x的取值范圍是（-∞，0]；
當(dāng)x＞1時(shí)，要使對(duì)于m∈[0，1]，f（m）≥0恒成立，則

f(0)=0≥0 f(1)=1-x+x2-x≥0

，∴x＞1．
綜上，對(duì)于m∈[0，1]，f（x）≥0恒成立的實(shí)數(shù)x的取值范圍是（-∞，0]∪[1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，訓(xùn)練了更換主元的解題思想方法，是中檔題．