Question

5．若函數(shù)f（x）=$\frac{{{x^2}-1}}{{{x^2}+2}}$在（-1，+∞）上的值域為[$-\frac{1}{2}$，1）．

Answer 1

分析 利用分離常數(shù)法求值域即可．

解答 解：由題意：函數(shù)f（x）=$\frac{{{x^2}-1}}{{{x^2}+2}}$=$\frac{{x}^{2}+2-3}{{x}^{2}+2}$=$1-\frac{3}{{x}^{2}+2}$
令y=x²+2，開口向上，對稱軸是y軸，
則y=x²+2在區(qū)間（-1，0）上是單調(diào)遞減，在（0，+∞）上是單調(diào)遞增．
當x=0時，有最小值為2，
∴$-\frac{3}{{x}^{2}+2}∈[-\frac{3}{2}，0）$
所以函數(shù)f（x）的值域為[$-\frac{1}{2}$，1）．
故答案為[$-\frac{1}{2}$，1）．

點評 本題考查了函數(shù)值域的求法．高中函數(shù)值域求法有：1、觀察法，2、配方法，3、反函數(shù)法，4、判別式法；5、換元法，6、數(shù)形結(jié)合法，7、不等式法，8、分離常數(shù)法，9、單調(diào)性法，10、利用導數(shù)求函數(shù)的值域，11、最值法，12、構(gòu)造法，13、比例法．要根據(jù)題意選擇．