Question

18．在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，若$\frac{2c-b}{a}=\frac{cosB}{cosA}$．
（1）求角A的大��；
（2）已知$a=2\sqrt{5}$，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）把條件中所給的既有角又有邊的等式利用正弦定理變化成只有角的形式，整理逆用兩角和的正弦公式，根據(jù)三角形內(nèi)角的關(guān)系，得到結(jié)果．
（2）利用余弦定理寫(xiě)成關(guān)于角A的表示式，整理出兩個(gè)邊的積的范圍，表示出三角形的面積，得到面積的最大值．

解答 解：（1）因?yàn)?\frac{2c-b}{a}=\frac{cosB}{cosA}$，所以（2c-b）cosA=acosB由正弦定理，
得（2sinC-sinB）cosA=sinAsinB，整理得2sinCcosA-sinBcosA=sinAcosB
所以2sinC-cosA=sin（A+B）=sinC
在△ABC中，sinC≠0，所以$cosA=\frac{1}{2}，∠A=\frac{π}{3}$
（2）由余弦定理cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，a=2$\sqrt{5}$．
∴b²+c²-20=bc≥2bc-20
∴bc≤20，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取“=”．
∴三角形的面積S=$\frac{1}{2}$bcsinA≤5$\sqrt{3}$．
∴三角形面積的最大值為5$\sqrt{3}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦定理和余弦定理，本題解題的關(guān)鍵是角和邊的靈活互化，兩個(gè)定理的靈活應(yīng)用和兩角和的公式的正用和逆用．