Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$+lnx，g（x）=$\frac{1}{2}$x²．
（1）設(shè)h（x）=f（x）+g（x），求曲線y=h（x）在點（1，h（1））處的切線方程；
（2）證明：f（x）≤g（x）．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計算h′（1），h（1），代入切線方程即可；
（2）令m（x）=f（x）-g（x），求出m（x）的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出m（x）≤0，證出結(jié)論即可．

解答 解：（1）h（x）=$\frac{1}{2}$+lnx+$\frac{1}{2}$x²，
∴h′（x）=$\frac{1{+x}^{2}}{x}$，（x＞0），
∴k=h′（1）=2，h（1）=1，
切線方程是：y-1=2（x-1），
即2x-y-1=0；
（2）證明：令m（x）=f（x）-g（x）=$\frac{1}{2}$+lnx-$\frac{1}{2}$x²，
則m′（x）=$\frac{1{-x}^{2}}{x}$，（x＞0），
令m′（x）＞0，解得：0＜x＜1，
令m′（x）＜0，解得：x＞1，
∴m（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減，
∴m（x）_max=m（1）=0，
故f（x）≤g（x）．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．