已知橢圓C:=1(a>b>0)過點P(-1,-1),c為橢圓的半焦距,且c=b.過點P作兩條互相垂直的直線l1,l2與橢圓C分別交于另兩點M,N.

(1)求橢圓C的方程;

(2)若直線l1的斜率為-1,求△PMN的面積;

(3)若線段MN的中點在x軸上,求直線MN的方程.

 

(1);(2)2;(3)

【解析】

試題分析:(1)根據(jù)題意可得,且,加之的關(guān)系,可求得; (2)由于直線的斜率已確定,則可由其與橢圓方程聯(lián)立方程組,求出點M的坐標(biāo),因兩直線垂直,故當(dāng)時,用代替,進(jìn)而求出點N的坐標(biāo),得,再由兩點間的距離公式求出: ,即可求出的面積;(3)觀察本題條件可用設(shè)而不求的方法處理此題,即設(shè)出點,兩點均在橢圓上得:,觀察此兩式的結(jié)構(gòu)特征是一致的,則將兩式相減得, 由題中條件線段的中點在x軸上,所以,從而可得,此式表明兩點橫坐標(biāo)的關(guān)系:可能相等;可能互為相反數(shù),分兩種情況分類討論:當(dāng)時,再利用,可轉(zhuǎn)化為,進(jìn)一步確定出兩點的坐標(biāo),即可求出直線的方程為;同理當(dāng),求出直線的方程為

試題解析:(1)由條件得,且,所以,解得

所以橢圓方程為:. 3分

(2)設(shè)方程為

聯(lián)立,消去

因為,解得.5分

當(dāng)時,用代替,得. 7分

代入,得

因為,所以

所以的面積為. 9分

(3)設(shè),則

兩式相減得

因為線段的中點在x軸上,所以,從而可得.12分

,則

因為,所以,得

又因為,所以解得,所以

所以直線的方程為. 14分

,則,

因為,所以,得

又因為,所以解得

經(jīng)檢驗:滿足條件,不滿足條件.

綜上,直線的方程為. 16分

考點:1.橢圓方程;2.直線與橢圓的位置關(guān)系

 

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求證:(1)CE∥平面PAD;

(2)平面PBC⊥平面PAB.

 

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已知集合,,則

 

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平面截半徑為2的球所得的截面圓的面積為,則球心到平面的距離為 .

 

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是橢圓兩個頂點,求四邊形OAMB的面積的最大值.

 

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已知等比數(shù)列滿足,則 .

 

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