Question

20．已知函數(shù)f（x）=|cosx|sinx，給出下列四個說法：
①函數(shù)f（x）的周期為π；
②若|f（x₁）|=|f（x₂）|，則x₁=x₂+kπ，k∈Z；
③f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}}$]上單調(diào)遞增；
④f（x）的圖象關(guān)于點（-$\frac{π}{2}$，0）中心對稱．
其中正確說法的個數(shù)是（　�。�

• A． 3個
• B． 2個
• C． 1個
• D． 0個

Answer 1

分析 利用一些特殊值，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)和圖象依次判斷各結(jié)論即可．

解答 解：由函數(shù)f（x）=|cosx|sinx，
∵f（x+π）≠f（x），函數(shù)f（x）的周期不是π，故①不正確．
若|f（x₁）|=|f（x₂）|，即|$\frac{1}{2}$sin2x₁|=|$\frac{1}{2}sin2{x}_{2}$|；若x₁=0，${x}_{2}=\frac{π}{2}$，依然成立，故②不對．
當(dāng)x∈[$-\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，函數(shù)f（x）=|cosx|sinx=cosxsinx=$\frac{1}{2}$sin2x，f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}}$]是單調(diào)遞增函數(shù)．故③對
若f（x）的圖象關(guān)于原點對稱的，是奇函數(shù)，則（0，0）中心對稱，而f（x+$\frac{π}{2}$）=|cos$\frac{π}{2}+x$|•sin（x+$\frac{π}{2}$）≠f（x），所以點（-$\frac{π}{2}$，0）不是中心對稱．故④不對．
綜上所述：正確的是③，只有一個
故選：C．

點評 本題考查了命題的真假性的判斷以及三角函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性，周期性和對稱軸的綜合的應(yīng)用能力，屬于中檔題．