Question

10．已知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$為單位向量，且|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|=$\sqrt{2}$|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$|，則$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$上的投影為（　�。�

• A． $\frac{1}{3}$
• B． -$\frac{2\sqrt{6}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{6}}{3}$
• D． $\frac{2\sqrt{2}}{3}$

Answer 1

分析 由已知向量等式求得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，進(jìn)一步求出$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）$，$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|$的值，代入投影表達(dá)式計算．

解答 解：由$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$為單位向量，知$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow|=1$，
再由且|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|=$\sqrt{2}$|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$|，得$（\overline{a}+\overline）^{2}=2（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）^{2}$，
即${\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}=2{\overrightarrow{a}}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow+2{\overrightarrow}^{2}$，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=\frac{1}{3}$．
則$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|=\sqrt{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）^{2}}=\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}}$=$\sqrt{1+\frac{2}{3}+1}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）={\overrightarrow{a}}^{2}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow=1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$．
∴$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$上的投影為$\frac{\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|}=\frac{\frac{4}{3}}{\frac{2\sqrt{6}}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故選：C．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積運算，考查向量在向量方向上投影的概念，是中檔題．