Question

E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的各邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，若對角線BD=2，AC=4，則EG²+HF²的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：依次連接EF、FG、GH、HE，由已知得四邊形EFGH為邊長為1、2的平行四邊形，由此能求出結(jié)果．

解答： 解：依次連接EF、FG、GH、HE
∵E是AB中點(diǎn)，H是AD中點(diǎn)，∴EH∥BD，且EH=BD=1，
同理：FG∥BD，F(xiàn)G=BD=1，∴EH∥FG，EH=FG，
同理，EF∥HG，EF=HG，
∴四邊形EFGH為邊長為1、2的平行四邊形，
設(shè)∠EHG=θ，那么∠HEF=180°-θ，
在△EHG中，由余弦定理有：
EG²=EH²+HG²-2×EH×HG×cosθ=1+4-4cosθ=5-4cosθ，
在△EFH中，由余弦定理有：
FH²=EF²+EH²-2×EF×EH×cos（180°-θ）=4+1-4cos（180°-θ）=5+4cosθ，
上述兩式相加，得到：
EG²+FH²=5-4cosθ+5+4cosθ=10．
故答案為：10．

點(diǎn)評：本題考查兩邊平方和的求法，是中檔題，解題時要注意余弦定理的合理運(yùn)用．