Question

20．已知f（x）=2+log₃x，x∈[1，9]，則函數(shù)y=[f（x）]²+f（x²）的最大值為（　�。�

• A． 6
• B． 22
• C． -3
• D． 13

Answer 1

分析 根據(jù)f（x）的定義域?yàn)閇1，9]，求出y=[f（x）]²+f（x²）的定義域?yàn)閇1，3]，然后利用二次函數(shù)的最值再求函數(shù)y=[f（x）]²+f（x²））=（log₃x）²+6log₃x+6，令log₃x=t，1≤x≤3，0≤t≤1，由二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得函數(shù)y=[f（x）]²+f（x²）．

解答 解：y=[f（x）]²+f（x²）=（log₃x）²+6log₃x+6，
∵f（x）=2+log₃x，x∈[1，9]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1≤x≤9}\\{1≤{x}^{2}≤9}\end{array}\right.$，解得：1≤x≤3，
∴y=[f（x）]²+f（x²）=（log₃x）²+6log₃x+6定義域是{x|1≤x≤3}．
令log₃x=t，1≤x≤3，
∴0≤t≤1，
∴y=t²+6t+6，0≤t≤1，
y=t²+6t+6，在[0，1]上是增函數(shù)，
當(dāng)t=1時(shí)，即x=3時(shí)，
y取最大值，最大值為13，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查換元法求函數(shù)的值域求法，考查函數(shù)定義域的應(yīng)用及一元二次函數(shù)的最值，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．