Question

16．曲線C₁的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcos\frac{π}{4}}\\{y=5+tsin\frac{π}{4}}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），曲線C₂的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosφ}\\{y=\sqrt{3}sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)）．
（1）求曲線C₂的普通方程，若以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立坐標(biāo)系，求曲線C₁的極坐標(biāo)系方程；
（2）若點(diǎn)P為曲線C₂上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)P到曲線C₁距離的最小值．

Answer 1

分析 （1）由cos²φ+sin²φ=1，能求出曲線C₂的普通方程，先求出曲線C₁的直角坐標(biāo)方程，由此能求出曲線C₁的極坐標(biāo)系方程．
（2）設(shè)點(diǎn)P（$cosφ\sqrt{3}sinφ$），由此利用點(diǎn)P到曲線C₁距離公式能求出點(diǎn)P到曲線C₁距離的最小值．

解答 解：（1）∵曲線C₂的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}x=cosφ\\ y=\sqrt{3}sinφ\end{array}\right.$（φ為參數(shù)），
∴曲線C₂的普通方程為${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
∵曲線C₁的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}x=1+tcos\frac{π}{4}\\ y=5+tsin\frac{π}{4}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
∴曲線C₁的直角坐標(biāo)方程為x-y+4=0，
∴曲線C₁的極坐標(biāo)系方程為ρcosθ-ρsinθ+4=0．
（2）∵點(diǎn)P為曲線C₂上任意一點(diǎn)，∴設(shè)點(diǎn)P（$cosφ\sqrt{3}sinφ$），
∴點(diǎn)P到曲線C₁距離：d=$\frac{|cosφ-\sqrt{3}sinφ+4|}{\sqrt{1+1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$|2sin（φ+150°）+4|，
∴點(diǎn)P到曲線C₁距離的最小值為d_min=$\frac{\sqrt{2}}{2}$|-2+4|=$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查參數(shù)方程、普通方程、極坐標(biāo)方程、直角坐標(biāo)方程的互化，考查點(diǎn)到曲線的距離的最小值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)互化公式的合理運(yùn)用．