Question

3．定義在R上的奇函數(shù)f（x），當(dāng)x∈（-∞，0）時，f（x）=-x²+mx-1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若方程f（x）=0有五個不相等的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用奇函數(shù)的定義，設(shè)x＞0，則-x＜0，結(jié)合f（-x）=-f（x），又f（0）=0，即可得到所求解析式；
（2）由題意可得f（x）=x²+mx+1（x＞0）的圖象與x軸正半軸有兩個不同的交點(diǎn)，運(yùn)用判別式和韋達(dá)定理，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：（1）設(shè)x＞0，則-x＜0，∴f（-x）=-x²-mx-1┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉（2分）
又f（x）為奇函數(shù)，即f（-x）=-f（x），所以，f（x）=x²+mx+1（x＞0），（4分）
又f（0）=0，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉（6分）
所以$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}+mx+1，\;x＞0\\ 0\;，\;x=0\\-{x^2}+mx-1\;，\;x＜0\end{array}\right.$┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉（8分）
（2）由方程f（x）=0有五個不相等的實(shí)數(shù)解，得y=f（x）的圖象與x軸有五個不同的交點(diǎn)，┉┉┉（9分）
因?yàn)閒（x）為奇函數(shù)，所以函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，又f（0）=0，
所以f（x）=x²+mx+1（x＞0）的圖象與x軸正半軸有兩個不同的交點(diǎn)，┉┉┉（10分）
即，方程x²+mx+1=0有兩個不等正根，記兩根分別為x₁，x₂┉┉┉┉┉┉（12分）
$⇒\left\{\begin{array}{l}△={m^2}-4＞0\\{x_1}+{x_2}=-m＞0\\{x_1}•{x_2}=1＞0\end{array}\right.⇒m＜-2$，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉（15分）
所以，所求實(shí)數(shù)m的取值范圍是m＜-2┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉（16分）

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的奇偶性的運(yùn)用：求解析式，考查方程思想和函數(shù)思想轉(zhuǎn)化，注意運(yùn)用韋達(dá)定理，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．