Question

17．對(duì)于數(shù)列{a_n}與{b_n}，若對(duì)數(shù)列{c_n}的每一項(xiàng)c_n，均有c_k=a_k或c_k=b_k，則稱數(shù)列{c_n}是{a_n}與{b_n}的一個(gè)“并數(shù)列”．
（1）設(shè)數(shù)列{a_n}與{b_n}的前三項(xiàng)分別為a₁=1，a₂=3，a₃=5，b₁=1，b₂=2，b₃=3，若{c_n}是{a_n}與{b_n}一個(gè)“并數(shù)列”求所有可能的有序數(shù)組（c₁，c₂，c₃）；
（2）已知數(shù)列{a_n}，{c_n}均為等差數(shù)列，{a_n}的公差為1，首項(xiàng)為正整數(shù)t；{c_n}的前10項(xiàng)和為-30，前20項(xiàng)的和為-260，若存在唯一的數(shù)列{b_n}，使得{c_n}是{a_n}與{b_n}的一個(gè)“并數(shù)列”，求t的值所構(gòu)成的集合．

Answer 1

分析 （1）利用“并數(shù)列”的定義即可得出．
（2）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式可得a_n，公差d，c_n，通過(guò)分類討論即可得出．

解答 解：（1）（1，2，3），（1，2，5），（1，3，3），（1，3，5）；
（2）a_n=t+n-1，
設(shè){c_n}的前10項(xiàng)和為T_n，T₁₀=-30，T₂₀=-260，得d=-2，c₁=6，所以c_n=8-2n；c_k=a_k或c_k=b_k．$當(dāng){c_k}={a_k}時(shí)，8-2k=t+k-1，t=9-3k∈{N^*}，k∈{N^*}$，
∴k=1，t=6；或k=2，t=3，
所以k≥3．k∈N^*時(shí)，c_k=b_k，
∵數(shù)列{b_n}唯一，所以只要b₁，b₂唯一確定即可．
顯然，t=6，或t=3時(shí)，b₁，b₂不唯一，
$\begin{array}{l}t∈{N^*}且t≠3，t≠6，\\ 即\left\{t\right.\left|{t∈{N^*}}\right.且t≠3，\left.{t≠6}\right\}\end{array}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、分類討論方法、新定義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．