Question

6．如圖，橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過點A（0，-1），且離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求a的值；
（2）經(jīng)過點（1，1），且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點P，Q（均異于點A），證明：直線AP與AQ的斜率之和為2．

Answer 1

分析 （1）運用離心率公式和a，b，c的關系，解方程可得a，進而得到橢圓方程；
（2）由題意設直線PQ的方程為y=k（x-1）+1（k≠0），代入橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，運用韋達定理和直線的斜率公式，化簡計算即可得到結論．

解答 （1）解：∵橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過點A（0，-1），且離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴b=1，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴c=1，a=$\sqrt{2}$．
（2）證明：由題設知，直線PQ的方程為y=k（x-1）+1（k≠2），
代入$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，得（1+2k²）x²-4k（k-1）x+2k（k-2）=0．
由已知△＞0，
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），x₁x₂≠0，
則x₁+x₂=$\frac{4k（k-1）}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2k（k-2）}{1+2{k}^{2}}$
從而直線AP，AQ的斜率之和
k_AP+k_AQ=$\frac{{y}_{1}+1}{{x}_{1}}+\frac{{y}_{2}+1}{{x}_{2}}$=$\frac{k{x}_{1}+2-k}{{x}_{1}}$+$\frac{k{x}_{2}+2-k}{{x}_{2}}$
=2k+（2-k）$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$
=2k+（2-k）$\frac{4k（k-1）}{2k（k-2）}$=2k-2（k-1）=2．
所以直線AP、AQ斜率之和為定值2．

點評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的離心率和方程的運用，聯(lián)立直線方程，運用韋達定理，考查直線的斜率公式，屬于中檔題．