Question

14．已知直線l過點P（2，0），斜率為$\frac{4}{3}$，直線l和拋物線y²=2x相交于A、B兩點，線段AB的中點為M．求：
（1）寫出直線l的一個參數方程；
（2）線段PM的長|PM|；
（3）線段AB的長|AB|．

Answer 1

分析 （1）求出直線傾斜角的正余弦，代入直線的標準參數方程即可；
（2）把直線的參數方程代入曲線方程，利用根與系數的關系和參數的幾何意義得出|PM|；
（3）利用參數的幾何意義求出|AB|．

解答 解：（1）設直線l的傾斜角為α，則tanα=$\frac{4}{3}$，∴sinα=$\frac{4}{5}$，cosα=$\frac{3}{5}$，
又直線l過點P（2，0），
∴直線l的標準參數方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{3}{5}t}\\{y=\frac{4}{5}t}\end{array}\right.$（t為參數）
（2）把直線l的參數方程代入y²=2x得：8t²-15t-50=0，
設A、B兩點對應的參數分別為t₁，t₂，則t₁+t₂=$\frac{15}{8}$，t₁t₂=-$\frac{25}{4}$．
∵M為AB的中點，
∴|PM|=$|\frac{{t}_{1}+{t}_{2}}{2}|$=$\frac{15}{16}$．
（3）|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{\frac{225}{64}+25}$=$\frac{5\sqrt{73}}{8}$．

點評 本題考查了直線的參數方程，參數的幾何意義，屬于中檔題．