Question

15．在直角坐標系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），以原點O為極點，x軸正半軸為極軸．建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρ（cosθ+ksinθ）=-2（k為實數(shù)）．
（1）判斷曲線C₁與直線l的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若曲線C₁和直線l相交于A，B兩點，且|AB|=$\sqrt{2}$，求直線l的斜率．

Answer 1

分析 （1）曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），利用cos²α+sin²α=1即可把參數(shù)方程化為普通方程，直線l的極坐標方程為ρ（cosθ+ksinθ）=-2（k為實數(shù)），化為直角坐標方程：x+ky+2=0．由于直線經(jīng)過定點P（-2，0），判斷此點與圓的位置關(guān)系即可得出結(jié)論．
（2）利用點到直線的距離公式可得圓心到直線的距離，利用弦長公式即可得出．

解答 解：（1）曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），化為普通方程：（x+1）²+y²=1，圓心C₁（-1，0），半徑r=1．
直線l的極坐標方程為ρ（cosθ+ksinθ）=-2（k為實數(shù)），化為直角坐標方程：x+ky+2=0．
直線經(jīng)過定點P（-2，0），此點在圓C₁上，因此曲線C₁與直線l的位置關(guān)系是相切或相交．
（2）圓心到直線的距離d=$\frac{|-1+2|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{1}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$．
∴|AB|=$\sqrt{2}$=2$\sqrt{1-（\frac{1}{\sqrt{1+{k}^{2}}}）^{2}}$，化簡可得：k²=1，解得k=±1．
∴直線l的斜率為$-\frac{1}{k}$=±1．

點評 本題考查了極坐標化為直角坐標方程、點到直線的距離公式、直線與圓相交弦長、三角函數(shù)基本關(guān)系式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．