Question

5．在底面為平行四邊形的四棱錐P-ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=2，BC=4，E是PD的中點，求平面EAC與平面ABCD的夾角．

Answer 1

分析 以A為原點，AC為x軸，AB為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出平面EAC與平面ABCD的夾角．

解答 解：∵AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=2，BC=4，E是PD的中點，
∴以A為原點，AC為x軸，AB為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，
P（0，0，2），D（2$\sqrt{3}$，-2，0），E（$\sqrt{3}$，-1，1），A（0，0，0），
C（2$\sqrt{3}$，0，0），
$\overrightarrow{AE}$=（$\sqrt{3}，-1，1$），$\overrightarrow{AC}$=（2$\sqrt{3}$，0，0），
設(shè)平面AEC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=\sqrt{3}x-y+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=2\sqrt{3}x=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，1，1），
平面ABCD的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
設(shè)平面EAC與平面ABCD的夾角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴$θ=arccos\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{π}{4}$，
∴平面EAC與平面ABCD的夾角為$\frac{π}{4}$．

點評 本題考查二面角的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．