Question

【題目】已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，其左頂點(diǎn)在圓上．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）直線交橢圓于兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），且直線與軸的交于點(diǎn)，試問的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）1.

【解析】試題分析：（1）由橢圓C的左頂點(diǎn)A在圓x2+y2=12上，求得a，由橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)得c=3，由b2=a2-c2得b，即可．
（2）由題意，N1（x2，-y2），可得直線NM的方程，令y=0，可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，0）． 利用△PMN的面積為S= |PF||y1-y2|，化簡(jiǎn)了基本不等式的性質(zhì)即可得出.
試題解析：

（Ⅰ）∵橢圓的左頂點(diǎn)在圓上，∴

又∵橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，∴ ∴

∴橢圓的方程為　

（Ⅱ）設(shè)，則直線與橢圓方程聯(lián)立

化簡(jiǎn)并整理得，

∴，

由題設(shè)知 ∴直線的方程為

令得

∴點(diǎn)　　

（當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立）

∴的面積存在最大值，最大值為1.