Question

18．已知$cosα=\frac{1}{3}，cos（α+β）=-\frac{1}{3}$，且$α，β∈（0，\frac{π}{2}）$，則cosβ=（　�。�

• A． $\frac{1}{5}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{5}{9}$
• D． $\frac{7}{9}$

Answer 1

分析 利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得sinα和sin（α+β）的值，再利用兩角差的余弦公式求得cosβ=cos[（α+β）-α]的值．

解答 解：∵已知$cosα=\frac{1}{3}，cos（α+β）=-\frac{1}{3}$，且$α，β∈（0，\frac{π}{2}）$，
∴sinα=$\sqrt{{1-cos}^{2}α}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，sin（α+β）=$\sqrt{{1-cos}^{2}（α+β）}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=$\frac{1}{3}$•（-$\frac{1}{3}$）+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$•$\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\frac{7}{9}$，
故選：D．

點評 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角差的余弦公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．