Question

9．已知在△ABC中，內(nèi)角∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊分別為a、b、c，其中c為最長(zhǎng)邊．
（1）若sin²A+sin²B=1，試判斷△ABC的形狀；
（2）若a²-c²=2b，且sinB=4cosAsinC，求b的值．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)sin²A+sin²B=1以及sin²A+cos²A=1得到sin²B=cos²A；再結(jié)合是三角形的內(nèi)角且c邊最長(zhǎng)得到sinB=cosA進(jìn)而判斷出三角形的形狀．
（2）由sinB=4cosAsinC，利用正弦定理和余弦定理可化為b²=2（b²+c²-a²），把a(bǔ)²-c²=2b代入即可得出．

解答 解：（1）因?yàn)椋簊in²A+sin²B=1，
而sin²A+cos²A=1；
所以，sin²B=cos²A；
∵c邊最長(zhǎng)，
∴A，B均為銳角，
故：sinB=cosA=sin（$\frac{π}{2}$-A）⇒B=$\frac{π}{2}$-A⇒A+B=$\frac{π}{2}$．
∴△ABC是直角三角形．
（2）∵由sinB=4cosAsinC，
∴利用正弦定理可得：b=4ccosA，余弦定理可得：b=$\frac{4（^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}）}{2bc}$×c，化為b²=2（b²+c²-a²），
∵a²-c²=2b，∴b²=2（b²-2b），化為b²-4b=0，
∵b＞0，解得b=4．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角形的形狀判斷和正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，三角形的形狀判斷有兩種常用方法：一是求出角之間的關(guān)系來(lái)下結(jié)論；二是求出邊之間的關(guān)系來(lái)下結(jié)論，屬于中檔題．