Question

16．已知a＞0，b＞0，函數(shù)f（x）=|2x+a|+2|x-$\frac{2}$|+1的最小值為2
（1）求a+b的值；
（2）求證：a+log₃（$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$）≥3-b．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)求出f（x）的最小值即可；（2）根據(jù)級(jí)別不等式的性質(zhì)得到求出a，b的值，從而證出不等式問(wèn)題．

解答 （1）解：∵f（x）=|2x+a|+|2x-b|+1≥|2x+a-（2x-b）|+1=|a+b|+1，
當(dāng)且僅當(dāng)（2x+a）（2x-b）≤0時(shí)，“=”成立，
又a＞0，b＞0，∴|a+b|=a+b，
∴f（x）的最小值為a+b+1=2，
∴a+b=1；
（2）證明：由（1）得：a+b=1，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$=（a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$）=1+4+$\frac{a}$+$\frac{4a}$≥5+2$\sqrt{\frac{a}•\frac{4a}}$=9，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{a}$=$\frac{4a}$，且a+b=1即a=$\frac{1}{3}$，b=$\frac{2}{3}$時(shí)取“=”，
∴l(xiāng)og₃（$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$）≥${log}_{3}^{9}$=2，
∴a+b+log₃（$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$）≥3，
即a+log₃（$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$）≥3-b．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了絕對(duì)值不等式問(wèn)題，考查級(jí)別不等式的性質(zhì)，是一道中檔題．