Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時(shí)，證明: （其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)， 的遞增區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間為，，遞減區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間為，，遞減區(qū)間為；

（2）見解析

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論的取值范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.

（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，令 ，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.

（1）由題意，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,

當(dāng)時(shí)，恒成立，故的遞增區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，在區(qū)間，時(shí)，時(shí)，

所以的遞增區(qū)間為，，遞減區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，在區(qū)間，時(shí)，時(shí)，

所以的遞增區(qū)間為，，遞減區(qū)間為；

綜上所述，當(dāng)時(shí)， 的遞增區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間為，，遞減區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間為，，遞減區(qū)間為；

（2）當(dāng)時(shí)，由,只需證明.

令 ，.

設(shè)，則.

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減;

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增,

∴當(dāng)時(shí)，取得唯一的極小值，也是最小值.

的最小值是 成立.

故成立.