Question

8．已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（-2，3），B（-2，-1），C（6，-1），以原點(diǎn)為圓心的圓與此三角形有唯一的公共點(diǎn)，則圓的方程為（　　）

• A． x²+y²=1
• B． x²+y²=4
• C． x²+y²=$\frac{16}{5}$
• D． x²+y²=1或x²+y²=37

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，結(jié)合以原點(diǎn)為圓心的圓與此三角形有唯一的公共點(diǎn)，求出圓的半徑，則圓的方程可求．

解答 解：如圖
A（-2，3），C（6，-1），
∴過(guò)A、C的直線方程為$\frac{y+1}{3+1}=\frac{x-6}{-2-6}$，化為一般式方程，x+2y-4=0．
點(diǎn)O到直線x+2y-4=0的距離d=$\frac{|-4|}{\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}＞1$，
又OA=$\sqrt{（-2）^{2}+{3}^{2}}=\sqrt{13}$，OB=$\sqrt{（-2）^{2}+（-1）^{2}}=\sqrt{5}$，OC=$\sqrt{{6}^{2}+（-1）^{2}}=\sqrt{37}$．
∴以原點(diǎn)為圓心的圓若與三角形ABC有唯一的公共點(diǎn)，則公共點(diǎn)為（0，-1）或（6，-1），
∴圓的半徑為1或$\sqrt{37}$，
則圓的方程為x²+y²=1或x²+y²=37．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．