Question

12．（1）過點(diǎn)P（3，2），且在x軸上的截距等于y軸上的截距2倍的直線方程；
（2）若一直線被直線4x+y+6=0和3x-5y-6=0截得的線段的中點(diǎn)恰好在坐標(biāo)原點(diǎn)，求這條直線方程．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)直線不過原點(diǎn)時，設(shè)直線的方程為$\frac{x}{2a}$+$\frac{y}{a}$=1，把點(diǎn)P（2，3）代入求得a的值，即可求得直線方程，當(dāng)直線過原點(diǎn)時，直線的方程可設(shè)為y=kx，把點(diǎn)P（2，3）代入求得k的值，即可求得直線方程，綜合可得答案．
（2）截得的線段的中點(diǎn)恰好是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l與4x+y+6=0和3x-5y-6=0的交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，交點(diǎn)適合兩直線，聯(lián)立方程，又直線過原點(diǎn)，因而消去常數(shù)可得所求直線方程．

解答 解：（1）當(dāng)直線不過原點(diǎn)時，設(shè)直線的方程為 $\frac{x}{2a}$+$\frac{y}{a}$=1，
將點(diǎn)P（2，3）代入可得，$\frac{2}{2a}$+$\frac{3}{a}$=1，
∴a=4，
此時，直線方程為$\frac{x}{8}$+$\frac{y}{4}$=1即x+2y-8=0，
當(dāng)直線過原點(diǎn)時，直線的方程為y=kx，把點(diǎn)P（2，3）代入可得3=2k，
∴k=$\frac{3}{2}$，
即直線的方程為y=$\frac{3}{2}$x，即3x-2y=0，
綜上可得，滿足條件的直線方程為：x+2y-8=0或3x-2y=0．
（2）設(shè)所求直線l與已知兩直線的交點(diǎn)分別是A、B，設(shè)A（x₀，y₀），
∵A、B關(guān)于原點(diǎn)對稱，
∴B（-x₀，-y₀）．
又∵A、B分別在兩直線上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4{x}_{0}+{y}_{0}+6=0}\\{-3{x}_{0}+5{y}_{0}-6=0}\end{array}\right.$，
解得x₀+6y₀=0，即點(diǎn)A在直線x+6y=0上，又直線x+6y=0過原點(diǎn)，
∴直線l的方程是x+6y=0．

點(diǎn)評 本題主要考查了求直線的方程，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，解題的關(guān)鍵討論直線是否過原點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．