精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學(xué) > 題目詳情

已知： $數(shù)學(xué)公式$ 、 $數(shù)學(xué)公式$ 、 $數(shù)學(xué)公式$ 是同一平面上的三個(gè)向量，其中 $數(shù)學(xué)公式$ =（1，2）．
（1）若| $數(shù)學(xué)公式$ |=2 $數(shù)學(xué)公式$ ，且 $數(shù)學(xué)公式$ ∥ $數(shù)學(xué)公式$ ，求 $數(shù)學(xué)公式$ 的坐標(biāo)．
（2）若| $數(shù)學(xué)公式$ |= $數(shù)學(xué)公式$ ，且 $數(shù)學(xué)公式$ +2 $數(shù)學(xué)公式$ 與2 $數(shù)學(xué)公式$ - $數(shù)學(xué)公式$ 垂直，求 $數(shù)學(xué)公式$ 與 $數(shù)學(xué)公式$ 的夾角θ

解：（1）設(shè) $\text{[math]}$ （1分）
∵ $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$ 且| $\text{[math]}$ |=2 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ，（3分）
∴x=±2（5分）
∴ $\text{[math]}$ =（2，4）或 $\text{[math]}$ =（-2，-4）（6分）
（2）∵（ $\text{[math]}$ +2 $\text{[math]}$ ）⊥（2 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）
∴（ $\text{[math]}$ +2 $\text{[math]}$ ）•（2 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）=0（8分）
∴2 $\text{[math]}$ ²+3 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ -2 $\text{[math]}$ ²=0
∴2| $\text{[math]}$ |²+3| $\text{[math]}$ |•| $\text{[math]}$ |cosθ-2| $\text{[math]}$ |²=0
∴2×5+3× $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ cosθ-2× $\text{[math]}$ =0
∴cosθ=-1（10分）
∴θ=π+2kπ
∵θ∈[0，π]
∴θ=π（12分）
分析：（1）設(shè)出 $\text{[math]}$ 的坐標(biāo)，利用它與 $\text{[math]}$ 平行以及它的模等于2 $\text{[math]}$ ，待定系數(shù)法求出 $\text{[math]}$ 的坐標(biāo)．
（2）由 $\text{[math]}$ +2 $\text{[math]}$ 與2 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ 垂直，數(shù)量積等于0，求出夾角θ的余弦值，再利用夾角θ的范圍，求出此角的大�。�
點(diǎn)評(píng)：本題考查平面上2個(gè)向量平行、垂直的條件，以及利用2個(gè)向量的數(shù)量積求2個(gè)向量的夾角．

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