Question

16．已知函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，若將f（x）的圖象向右平移一個(gè)單位又得到一個(gè)奇函數(shù)，若f（2）=-1，則f（1）+f（2）+…+f（2015）等于（　　）

• A． -1
• B． 0
• C． -1003
• D． 1003

Answer 1

分析 根據(jù)題意：函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，若將f（x）的圖象向右平移一個(gè)單位又得到一個(gè)奇函數(shù)，可求出f（x）是一個(gè)周期為4的函數(shù)．因?yàn)閒（2）=-1，可以求f（0）=f（2）=f（4）=-1，當(dāng)x=-1時(shí)，f（-1+2）=-f（-1），即f（1）=-f（1），可求f（1）=0，∵f（3）=-f（1）=0，∴f（1）=0，f（2）=-1，f（3）=0，f（4）=-1，不難發(fā)現(xiàn)f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0，即可求．

解答 解：∵將f（x）的圖象向右平移一個(gè)單位得到f（x-1），得到一個(gè)奇函數(shù)，
∴f（-x-1）=-f（x-1），
∵f（x）為偶函數(shù)，
∴f（-x-1）=-f（x-1）=f（x+1），
即f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=f（x），即函數(shù)的周期是4．
當(dāng)x=-1時(shí)，f（-1+2）=-f（-1），即f（1）=-f（1），可求f（1）=0
利用條件可以推得：f（-1）=f（1）=0，
f（2）=-f（0）=-1，
f（3）=f（4-1）=0，
f（4）=f（0）=1，
所以在一個(gè)周期中f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0，
∴f（1）+f（2）+…+f（2015）
=503×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（2013）+f（2014+（2015）=0-1+0=-1，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)的性質(zhì)的運(yùn)用和周期函數(shù)的理解，周期的求法會(huì)尋求數(shù)值之間的關(guān)系．屬于中檔題．