Question

過拋物線y²=2px（p＞0）焦點F的弦AB，過A，B兩點分別作其準(zhǔn)線的垂線AM，BN，垂足分別為M，N，AB傾斜角為α，若A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則：
①x₁x₂=

p2

4

；y₁y₂=-p²．
②|AF|=

p

1-cosα

，|BF|=

p

1+cosα

③

|AF|+|BF|

|AF|•|BF|

=

2

p

，
④|AB|=x₁+x₂+p=

2p

sin2α

，
⑤

FM

•

FN

=0
其中結(jié)論正確的序號為

 

．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質(zhì),拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：閱讀型,平面向量及應(yīng)用,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：①設(shè)AB：x=

p

2

或y=k（x-

p

2

），聯(lián)立拋物線方程，由韋達(dá)定理，即可得到；
②由拋物線的定義，在直角三角形ACF中，運用余弦函數(shù)的定義，即可得到AF的長，同理可得BF的長；
③可由①推得；④由拋物線的定義和②可得；⑤由向量的數(shù)量積坐標(biāo)表示結(jié)合①，即可得到．

解答： 解：①設(shè)AB：x=

p

2

或y=k（x-

p

2

），若x=

p

2

，
則y²=p²，y₁y₂=-p²，x₁x₂=

p2

4

，
由y=k（x-

p

2

）和拋物線方程，得到k²x²-（kp+2p）x+

k2p2

4

=0，
則x₁x₂=

p2

4

，y₁y₂=-

4p2• p2 4

=-p²．故①對；
②由拋物線的定義可得AF=AM=CK=p+CF=p+AFcosα，
則|AF|=

P

1-cosα

，同理可得|BF|=

p

1+cosα

，故②正確；
③

1

|AF|

+

1

|BF|

=

1-cosα

p

+

1+cosα

p

=

2

p

，故③對；
④由拋物線的定義可得，|AB|=|AF|+|BF|=x₁+x₂+p，再由②得，

P

1-cosα

+

p

1+cosα

=

2p

sin2α

，故④對；
⑤

FM

•

FN

=（y₁，-p）•（y₂，-p）=y₁y₂+p²=-p²+p²=0，故⑤對．
故答案為：①②③④⑤．

點評：本題考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，考查聯(lián)立直線方程和拋物線方程，運用韋達(dá)定理求解，考查平面幾何知識以及平面向量的數(shù)量積的性質(zhì)，屬于中檔題．