Question

15．已知f（x）=|2x+1|+|x-$\frac{1}{2}$|（x∈R）．
（1）關(guān)于x的不等式f（x）≥2a²-a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）設(shè)m，n，p，q為正實(shí)數(shù)，且m+n=f（-$\frac{1}{2}$），求證：（mp+nq）²≤mp²+nq²．

Answer 1

分析 （1）畫出函數(shù)圖象，利用數(shù)學(xué)結(jié)合得出函數(shù)的最小值，解二次不等式即可；
（2）由題意可知m+n=1，利用綜合法證明：mp²+nq²-（mp+nq）²=m（1-m）p²+n（1-n）q²-2mnpq=mn（p-q）²≥0．

解答 解：f（x）=|2x+1|+|x-$\frac{1}{2}$|，
畫出函數(shù)圖象如圖：
函數(shù)的最小值為1，
∵f（x）≥2a²-a恒成立，
∴1≥2a²-a恒成立，
∴-$\frac{1}{2}$≤a≤1；
（2）設(shè)m，n，p，q為正實(shí)數(shù)，且m+n=f（-$\frac{1}{2}$），
∴m+n=1，（mp+nq）²≤mp²+nq²．
∵mp²+nq²-（mp+nq）²
=m（1-m）p²+n（1-n）q²-2mnpq
=mn（p-q）²≥0．
∴（mp+nq）²≤mp²+nq²．
故結(jié)論成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了絕對(duì)值函數(shù)的畫圖和不等式的證明．屬于常規(guī)題型，應(yīng)熟練掌握．