Question

定義在R上的函數(shù)滿足f（x+4）=f（x），且x∈[0，4]時(shí)，f（x）=sin

πx

4

，則下列大小關(guān)系正確的是（　　）

• A、f（tan1）＜f（

  1

  tan1

  ）
• B、f（cos

  5π

  6

  ）＜f（cos

  π

  3

  ）
• C、f（sin2）＜f（cos2）
• D、f（tan1）＞f（sin1）

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)的周期性畫(huà)出函數(shù)的圖象，求出函數(shù)在某個(gè)區(qū)間的單調(diào)性，然后利用單調(diào)性加以判斷，求解即可．

解答： 解：∵定義在R上的函數(shù)滿足f（x+4）=f（x），
∴f（x）是周期為4的周期函數(shù)，
∵x∈[0，4]時(shí)，f（x）=sin

πx

4

，
畫(huà)出函數(shù)在[0，4]上的圖象，再由周期性得出f（x）的圖象，

由圖象可知，f（x）在[0，2]是單調(diào)遞增函數(shù)，且函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，為偶函數(shù)，
A、∵0＜

1

tan1

＜tan1＜2，∴f（tan1）＞f（

1

tan1

），故A錯(cuò)誤；
B、∵cos

5π

6

=cos（π-

π

6

）=-cos

π

6

，
∴f（cos

5π

6

）=f（-cos

π

6

）=f（cos

π

6

），
又∵0＜cos

π

3

＜cos

π

6

＜2，
∴f（cos

π

6

）＞f（cos

π

3

）即f（cos

5π

6

）f（cos

π

3

），B錯(cuò)誤；
C、f（cos2）=f（-cos2），而0＜-cos2＜sin2＜2所以f（sin2）＞f（cos2），C錯(cuò)誤；
D、tan1=

sin1

cos1

＞sin1，且0＜sin1＜tan1＜2，所以f（tan1）＞f（sin1），D正確；
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的周期性和單調(diào)性和數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題．