Question

【題目】在實數(shù)集R上定義一種運算“*”，對于任意給定的a、b∈R，a*b為唯一確定的實數(shù)，且具有性質(zhì)：
1）對任意a、b∈R，a*b=b*a；
2）對任意a、b∈R，a*0=a；
3）對任意a、b∈R，（a*b）*c=c*（ab）+（a*c）+（c*b）﹣2c．
關(guān)于函數(shù)f（x）=x* 的性質(zhì)，有如下說法：
①在（0，+∞）上函數(shù)f（x）的最小值為3；
②函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
③函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣∞，﹣1），（1，+∞）．
其中所有正確說法的個數(shù)為（ ）
A.0
B.1
C.2
D.3

Answer 1

【答案】C
【解析】解：①由新運算“*”的定義③令c=0，
則（a*b）*0=0*（ab）+（a*0）+（0*b）=ab+a+b，
即a*b=ab+a+b
∴f（x）=x* =1+x+ ，當x＞0時，f（x）=x* =1+x+ ≥1+2 =1+2=3，
當且僅當x= ，即x=1時取等號，∴在（0，+∞）上函數(shù)f（x）的最小值為3；故①正確，
②函數(shù)的定義域為（﹣∞，0）∪（0，+∞），
∵f（1）=1+1+1=3，f（﹣1）=1﹣1﹣1=﹣1，
∴f（﹣1）≠﹣f（1）且f（﹣1）≠f（1），則函數(shù)f（x）為非奇非偶函數(shù)，故②錯誤，
③函數(shù)的f′（x）=1﹣ ，令f′（x）=0
則x=±1，
∵當x∈（﹣∞，﹣1）或（1，+∞）時，f′（x）＞0
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣∞，﹣1）、（1，+∞）．故③正確；
故正確的是①③，
故選：C