Question

13．已知函數(shù)f（x）=x³+nx²+mx，g（x）=nx²-mx，其中m，n∈R．
（1）若當(dāng)m=n+6時，函數(shù)f（x）有兩個極值點x₁，x₂（x₁＜x₂），且0≤x₁＜1，2≤x₂＜3，求實數(shù)n的取值范圍和f（x₁）+f（x₂）的取值范圍；
（2）當(dāng)n＞m，且mn≥0時，若函數(shù)f（x），g（x）在區(qū)間[m，n]上都是單調(diào)函數(shù)，且單調(diào)性相反，求n-2m的最大值．

Answer 1

分析 （1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)極值和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)，利用一元二次函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可．
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，進行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：（1）當(dāng)m=n+6時，f（x）=x³+nx²+mx=x³+nx²+（n+6）x，
則f′（x）=3x²+2nx+n+6，由判別式△=4n²-12（n+6）＞0，得n＞6或n＜-3，
又由于0≤x₁＜1，2≤x₂＜3，
∴函數(shù)應(yīng)滿足$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=n+6≥0}\\{f（1）=3n+9＜0}\\{f（2）=5n+18≤0}\\{f（4）=9n+54＞0}\end{array}\right.$，即-6＜n＜-$\frac{18}{5}$---------------4分
f（x₁）+f（x₂）=（x₁³+x₂³）+n（x₁²+x₂²）+（n+6）（x₁+x₂）=（x₁+x₂）³-3x₁x₂（x₁+x₂）+n[（x₁+x₂）²-2x₁x₂]+（n+6）（x₁+x₂），-------6分
由于$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{2n}{3}}\\{{x}_{1}{x}_{2}=\frac{n+6}{3}}\end{array}\right.$，代入上式得f（x₁）+f（x₂）=$\frac{4{n}^{3}}{27}-\frac{2{n}^{2}}{3}-4n$，n∈（-6，$-\frac{18}{5}$）-------8分
設(shè)g（n）=$\frac{4{n}^{3}}{27}-\frac{2{n}^{2}}{3}-4n$，n∈（-6，$-\frac{18}{5}$），
則g′（n）=$\frac{4}{9}（{n}^{2}-3n-9）$，
又因為n=$\frac{3}{2}$＞0，且g′（-$\frac{18}{5}$）＞0，
故g（n）在n∈（-6，$-\frac{18}{5}$）上為增函數(shù)，
 則f（x₁）+f（x₂） 的取值范圍為（-32，$\frac{1304}{125}$）--------------------------------------------------10分
（2）∵函數(shù)f（x），g（x）在區(qū)間[m，n]上都是單調(diào)函數(shù)，且單調(diào)性相反，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（x）≥0}\\{g′（x）≤0}\end{array}\right.$，則$\left\{\begin{array}{l}{f′（x）=3{x}^{2}+2nx+m≥0}\\{g′（x）=2nx-m≤0}\end{array}\right.$
若m＜n≤0，顯然不符合g′（x）=2nx-m≤0-----------------------11分
若n＞m≥0，則f′（x）在[m，n]上單調(diào)遞增，則g′（x）單調(diào)遞減，
則有$\left\{\begin{array}{l}{f′（m）=3{m}^{2}+2mn+m≥0}\\{g′（x）=2{n}^{2}-m≤0}\end{array}\right.$
從而$\left\{\begin{array}{l}{3m+2n+1≥0}\\{2{n}^{2}-m≤0}\\{0≤m＜n}\end{array}\right.$-----------------------------12分
由線性規(guī)劃可得0＜n-m≤$\frac{1}{8}$------------------------------14分

點評 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)極值，單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系進行轉(zhuǎn)化結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，難度較大．