9.在橢圓4x2+y2=4上任取一點(diǎn)P,設(shè)P在x軸上的正投影為點(diǎn)D,當(dāng)點(diǎn)P在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),動(dòng)點(diǎn)MM滿足$\overrightarrow{PD}$=2$\overrightarrow{MD}$,則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是(  )
A.焦點(diǎn)在x軸上的橢圓B.焦點(diǎn)在y軸上的橢圓
C.D.無法確定

分析 由題意可知:P(x0,y0),D(x0,0),M(x,y),則$\overrightarrow{PD}$=(0,-y0),$\overrightarrow{MD}$=(x-x0,-y),由$\overrightarrow{PD}$=2$\overrightarrow{MD}$,即(0,-y0)=2(x-x0,-y),因此$\left\{\begin{array}{l}{0=2(x-{x}_{0})}\\{-{y}_{0}=-2y}\end{array}\right.$,整理可得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=x}\\{{y}_{0}=2y}\end{array}\right.$,代入橢圓${x}_{0}^{2}+\frac{{y}_{0}^{2}}{4}=1$,即可求得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程x2+y2=1,因此動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是圓.

解答 解:由橢圓${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$,可知焦點(diǎn)在y軸上,
設(shè)P(x0,y0),D(x0,0),M(x,y),
由題意可知:$\overrightarrow{PD}$=(0,-y0),$\overrightarrow{MD}$=(x-x0,-y),
由$\overrightarrow{PD}$=2$\overrightarrow{MD}$,即(0,-y0)=2(x-x0,-y),
則$\left\{\begin{array}{l}{0=2(x-{x}_{0})}\\{-{y}_{0}=-2y}\end{array}\right.$,
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=x}\\{{y}_{0}=2y}\end{array}\right.$,
由P(x0,y0)在${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$上,則${x}_{0}^{2}+\frac{{y}_{0}^{2}}{4}=1$,
∴x2+y2=1,
動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是圓,
故選:C.

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用,屬于中檔題.

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