Question

已知等差數(shù)列{a_n}的公差為-1，首項為正數(shù)，將數(shù)列{a_n}的前4項抽去其中一項后，剩下三項按原來順序恰為等比數(shù)列{b_n}的前3項，
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n與前n項和S_n；
（Ⅱ）是否存在三個不等正整數(shù)m，n，p，使m，n，p成等差數(shù)列且S_m，S_n，S_p成等比數(shù)列．

Answer 1

考點：等比關(guān)系的確定,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由題意設(shè)前4項為a、a-1、a-2、a-3，根據(jù)等比中項的性質(zhì)分別列出四個方程，由等比數(shù)列的項不為零，求出a的值，代入通項公式和前n項和公式求出a_n與S_n；
（Ⅱ）假設(shè)存在三個不等正整數(shù)m，n，p滿足條件，根據(jù)等比中項的性質(zhì)得Sn²=Sm•Sp，把S_n代入并化簡，再由基本不等式得出矛盾，從而說明假設(shè)不成立．

解答： 解：（Ⅰ）由題意設(shè)前4項為a、a-1、a-2、a-3，且a＞0，
因為4項抽去其中一項后，剩下三項按原來順序恰為等比數(shù)列{b_n}的前3項，
則（a-1）²=a（a-2）或（a-2）²=（a-1）（a-3）
或（a-1）²=a（a-3）或（a-2）²=a（a-3），
又a＞0，且a≠1、2、3，解得a=4，
所以a_n=5-n，
S_n=

n(4+5-n)

2

=

-n2+9n

2

．

（Ⅱ）假設(shè)存在三個不等正整數(shù)m，n，p滿足條件，
由S_m，S_n，S_p成等比數(shù)列得，S_n²=S_m•S_p，
所以

(-n2+9n)2

4

=

-m2+9m

2

•

-p2+9p

2

，
即

n2(9-n)2

4

=

m(9-m)p(9-p)

4

，
又m，n，p成等差數(shù)列，則2n=m+p，
所以(9-m)(9-p)≤(

9-m+9-p

2

)2=（9-n）²，且mp≤

(m+p)2

4

=n²，
則

n2(9-n)2

4

≥

m(9-m)p(9-p)

4

，當且僅當m=p時取等號．
故不存在三個不等正整數(shù)m、n、p，
使m、n、p成等差數(shù)列且S_m，S_n，S_p成等比數(shù)列．

點評：本題考查等比中項的性質(zhì)，等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式的應(yīng)用，以及利用基本不等式證明數(shù)列的不等式問題，難度較大，比較綜合．