Question

已知函數(shù)f（x）=

|cosx|

x

-k在（0，+∞）上恰有四個零點x₁、x₂、x₃、x₄，且0＜x₁＜x₂＜x₃＜x₄，則（　　）

• A、tan（x₁+

  π

  4

  ）=

  x1-1

  1+x1

• B、tan（x₂+

  π

  4

  ）=

  x2-1

  1+x2

• C、tan（x₃+

  π

  4

  ）=

  x3-1

  1+x3

• D、tan（x₄+

  π

  4

  ）=

  x4-1

  1+x4

Answer 1

考點：函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：函數(shù)f（x）=

|cosx|

x

-k的零點就是方程

|cosx|

x

-k=0的根，也就是方程|cosx|=kx的根，
令y=|cosx|，y=kx，上述方程的根就是函數(shù)y=|cosx|與y=kx的交點的橫坐標(biāo)，故函數(shù)f（x）=

|cosx|

x

-k在（0，+∞）上恰有四個零點等價于y=|cosx|與y=kx在（0，+∞）有且僅有四個交點，數(shù)形結(jié)合可得．

解答： 解：函數(shù)f（x）=

|cosx|

x

-k的零點就是方程

|cosx|

x

-k=0的根，也就是方程|cosx|=kx的根，
令y=|cosx|，y=kx，上述方程的根就是函數(shù)y=|cosx|與y=kx的交點的橫坐標(biāo)，
∴函數(shù)f（x）=

|cosx|

x

-k在（0，+∞）上恰有四個零點等價于y=|cosx|與y=kx在（0，+∞）有且僅有四個交點，
如圖：

點A為y=kx與y=|cosx|的切點，
由條件知，DCBA的橫坐標(biāo)依次為x₁、x₂、x₃、x₄，
下求A的坐標(biāo)：當(dāng)x∈（

3π

2

，2π）時，y=|cosx|=cosx，
∴y′=-sinx，∴斜率k=-sinx₄，
又在A點的縱坐標(biāo)滿足cosx₄=kx₄，
∴cosx₄=kx₄=-x₄sinx₄，∴tanx4=-

1

x4

，
∴tan（x₄+

π

4

）=

tanx4+1

1-tanx4

=

- 1 x4 +1

1-(- 1 x4 )

=

x4-1

1+x4

，
故選：D．

點評：本題考查根的存在性及根的個數(shù)判斷、函數(shù)的零點等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬基礎(chǔ)題．