Question

已知離心率為

1

2

的橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左頂點為A，上頂點為B，且點B在圓M：（x-1）²+y²=4上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若過點A的直線l與圓M交于P，Q兩點，且

MP

•

MQ

=-2，求直線l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,平面向量數(shù)量積的運算,橢圓的標準方程

專題：向量與圓錐曲線,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）運用幾何意義求出b=

3

，a=2，c=1即可得出方程．（2）根據(jù)由

MP

•

MQ

=-2，可得∠PMQ=120°，求解k=±

2

4

，即可得出直線方程．

解答： 解：：（1）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左頂點為A，上頂點為B，
A（-a，0），B（0，b），離心率為

1

2

，
∵點B在圓M：（x-1）²+y²=4上．
∴B（0，

3

），
b=

3

，a=2，c=1，
∴橢圓C的方程：

x2

4

+

y2

3

=1，
（2）由題意知，直線l的斜率存在，
設直線l的方程為y=k（x+2），
由

MP

•

MQ

=-2，
所以cos∠PMQ=

MP • MQ

| MP || MQ |

=

-2

4

=-

1

2

，
可得∠PMQ=120°，
故圓心M到直線l的距離為1，
所以k=±

2

4

，
直線方程為x+2

2

y+2=0或x-2

2

y+2=0．

點評：本題考查了直線與圓錐曲線的方程，位置關系，向量的運用，屬于綜合題，難度較大．