Question

14．已知二次函數(shù)f（x）圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-1）且圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）作出函數(shù)|f（x）|的圖象；
（3）根據(jù)圖象分別指出k為何值時(shí)，關(guān)于x的方程|f（x）=k|有2個(gè)實(shí)根？3個(gè)實(shí)根？4個(gè)實(shí)根？

Answer 1

分析 （1）設(shè)出二次函數(shù)的解析式，利用已知條件列出方程求解即可．
（2）利用二次函數(shù)以及函數(shù)的對(duì)稱性，作出函數(shù)的圖形即可．
（3）結(jié)合函數(shù)的圖象，直接說(shuō)明方程的解的個(gè)數(shù)即可．

解答 解：（1）設(shè)二次函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=ax²+bx+c（a≠0），
 依題意有f（0）=0 可得：c=0，f（1）=-1 可得：a+b=-1，
由頂點(diǎn)坐標(biāo)（1，-1）可得：對(duì)稱軸為x=-$\frac{2a}=1$，
解得：a=1，b=-2，c=0．
故函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=x²-2x．
（2）函數(shù)|f（x）|的圖象如圖：

（3）由圖象易知：當(dāng)k=0或k＞1時(shí)，方程|f（x）|=k有兩個(gè)實(shí)根；
當(dāng)k=1時(shí)，方程|f（x）=k|有三個(gè)實(shí)根；
當(dāng)0＜k＜1時(shí)，方程|f（x）|=k有四個(gè)實(shí)根．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的圖象的作法，函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．