Question

6．如圖，BE，CD均垂直平面AED，AE⊥DE，且AE=BE=DE=2，CD=1．
（1）設M，N分別是線段AD，AB的中點，求證：MN∥平面BCDE；
（2）求直線AB與平面AEC所成的角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）連結BD，由MN∥BD，能證明MN∥平面BCDE．
（2）以E為原點，EA為x軸，ED為y軸，EB為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出AB與平面AEC所成的角的余弦值．

解答 證明：（1）連結BD，∵M，N分別是線段AD，AB的中點，
∴MN∥BD，
∵MN?平面BCDE，BD?平面BCDE，
∴MN∥平面BCDE．
解：（2）以E為原點，EA為x軸，ED為y軸，EB為z軸，建立空間直角坐標系，
由題意得A（2，0，0），B（0，0，2），E（0，0，0），C（0，2，1），
$\overrightarrow{AB}$=（-2，0，2），$\overrightarrow{EA}$=（2，0，0），$\overrightarrow{EC}$=（0，2，1），
設平面AEC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EA}=2x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EC}=2y+z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，1，-2），
設直線AB與平面AEC所成的角為θ，
則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-4|}{\sqrt{8}•\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
∴cosθ=$\sqrt{1-\frac{10}{25}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
∴AB與平面AEC所成的角的余弦值為$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查線面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．