Question

已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱．
(1)求證：f(x)是周期為4的周期函數(shù)；
(2)若(0<x≤1)，求x∈[－5，－4]時(shí)，函數(shù)f(x)的解析式．

Answer 1

（1）見解析；（2）.

解析試題分析：（1）只需證明.由函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線對稱，可得，
即有．根據(jù)函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，故有＝－．
從而由，得到，即f(x)是周期為4的周期函數(shù)．
(2)首先由函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，得到f(0)＝0.
根據(jù)x∈[－1,0)時(shí)，－x∈(0,1]，f(x)＝－f(－x)＝.    
利用函數(shù)的周期性得到，x∈[－5，－4]時(shí)，函數(shù)f(x)的解析式.
試題解析：(1)證明：由函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線對稱，有，
即有                                     2分
又函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，故有＝－．
故，從而，即是周期為4的周期函數(shù)．                               6分
(2)由函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，可知f(0)＝0.
時(shí)，.    
故時(shí)，                                    9分
時(shí)，.
從而，時(shí)，函數(shù)f(x)的解析式為.             12分
考點(diǎn)：函數(shù)的奇偶性、周期性