Question

11．已知正實數(shù)a，b，c且a+b+c=1，則（a+1）²+4b²+9c²的最小值為$\frac{144}{49}$．

Answer 1

分析 先將式a+b+c子化為1•（a+1）+$\frac{1}{2}$•（2b）+$\frac{1}{3}$•（3c）-1的形式，再運用柯西不等式求最值．

解答 解：∵a+b+c=1•（a+1）+$\frac{1}{2}$•（2b）+$\frac{1}{3}$•（3c）-1，
∴1•（a+1）+$\frac{1}{2}$•（2b）+$\frac{1}{3}$•（3c）=2，
根據(jù)柯西不等式，（x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂）²≤（x₁²+y₁²+z₁²）•（x₂²+y₂²+z₂²）得，
[1•（a+1）+$\frac{1}{2}$•（2b）+$\frac{1}{3}$•（3c）]²≤（1+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{9}$）•[（a+1）²+4b²+9c²]，
即，4≤$\frac{49}{36}$•[（a+1）²+4b²+9c²]，
因此，（a+1）²+4b²+9c²≥$\frac{144}{49}$，
當且僅當，1：（a+1）=$\frac{1}{2}$：2b=$\frac{1}{3}$：3c時取“=”，解得a=$\frac{23}{49}$，b=$\frac{18}{49}$，c=$\frac{8}{49}$，
故（a+1）²+4b²+9c²的最小值為$\frac{144}{49}$．
故答案為：$\frac{144}{49}$．

點評 本題主要考查了柯西不等式在求最值問題中的應用，以及取等條件的確定，考查了分析處理問題的能力，整體思想與構造法的解題技巧，屬于中檔題．